বিসিএস – প্রিলিমিনারি – গণিত – ধারা

যে কোন পরীক্ষায় ধারা থেকে অংক আসে।  আমরা সহজ ভাষায় ধারা শিক্ষার চেষ্টা করব। ধারা কয়েক রকমের হতে পারে।

যেমন ধরুন: ১,২,৩,৪,৫,…… কিংবা ২,৪,৬,৮,১০, … অথবা ১,২,৪,৮,১৬, …

আপনি অংক গুলো খেয়াল করলে দেখবেন প্রথম ধারাতে ১ করে যোগ হচ্ছে। দ্বিতীয় ধারাতে ২ করে যোগ হচ্ছে। তৃতীয় ধারাতে ২ করে গুন হচ্ছে।

একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যদি যোগ বা বিয়োগ হয়ে কোন ধারা তৈরী হয় তবে সে ধারাকে বলে সমান্তর বা সান্ত ধারা বলে।

এখানে ১,২,৩,৪,৫,…… এবং ২,৪,৬,৮,১০,… এই দুটি ধারা সমান্তর ধারা।

এই ধারার পরের সংখ্যাটি আপনি এমনি বলে দিতে পারবেন। কিন্তু মুশকিল হল, পরীক্ষায় আসবে প্রদত্ত ধারার ১৫ তম কিংবা ৩৯ তম  এরকম পদ বের কর  এরকম অংক করার জন্য একটি সহজ সূত্র আছে,

n তম পদ = a + (n – ১)d;   a  হচ্ছে প্রথম পদ এবং d হচ্ছে সাধারণ অন্তর।

আপনি এই সূত্র ব্যবহার করে এরকম অংক করে ফেলতে পারবেন।  কিন্তু একটি ক্ষেত্রে আপনার ভুল করার সম্ভাবনা অনেক বেশি।

আপনি  “n তম পদ” আর n কে যে কোন সময় এক করে ফেলবেন। 🙂

 

n এবং “n তম পদ” এর পার্থক্য ভাল মতন বুঝে নিন; এবার বিশ্বকাপে ১ম দল কোনটি? জার্মানি।

n তম পদ হল জার্মানি আর n হল ১।

তাহলে n হল সিরিয়াল আর n তম পদ হল ওই সিরিয়ালে যে নাম্বারটি আছে তা।

তাহলে আমরা ৩৯ তম পদ বের করি:

১ম ধারায়:

৩৯ তম পদ = ১ + (৩৯-১)১ = ৩৯

২য় ধারায়: ৩৯ তম পদ = ২ + (৩৯-১)২ = ৭৮

অংকটি কর,

5+8+11+14+……….ধারাটির কোন পদ 383?

ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 3

প্রথম পদ a = 5

মনে করি,

n তম পদ = 383

a+ (n-1)d = 383

• 5 + (n-1)3 = 383
•  3n-3 = 378
• 3n = 381
• n = 127

সমান্তর ধারার যোগ:

সূত্র হল:  n/2 {2a+ (n-1)d} মনে রাখতে পারেন এভাবে,  n/2 {2—->n তম পদ}  মানে n/2 {2 a+ (n-1)d}

1+3+5+7+……… ধারার n এর সমষ্টি কত ?

S = n/2 {2a+ (n-1)d}

= n/2{2X1 + (n-1)2}

= n/2 {2+ 2n-2}

=n/2X{2n}

=n²

আপনি নিচের সূত্র মুখস্থ করেন:

1+2+3+…………+n = n(n+1)/2

1+3+5+7+……… +n = n^2

1²+2²+3²+…………+n² = n(n+1)(2n+1)/6

1³+2³+3³+…………+n³ = {n(n+1)/2}²

প্রথম সূত্রটি ব্যাখ্যা করা যায়,

১ + ২ + ৩ + ৪ + …… + ১০০

১ + ১০০ = ১০১
২ + ৯৯   = ১০১
৩ + ৯৮   = ১০১
৪ + ৯৭   = ১০১
.
.
.
৫০ + ৫১  = ১০১

১০১ আছে মোট ৫০ বার।  তাহলে যোগফল = ১০১X৫০

১০১ এসেছে ১০০+ ১ থেকে আর ৫০ এসেছে ১০০/২ থেকে

তাহলে সূত্রটি হবে,
n/2 X (n+1) = n(n+1)/2

এই অংকটি আমাদের করে দেখান:

৩০ + ৩১ + ৩২ + ……. + ১০০ =?

২য় সূত্রটি দেখি একবার:

1+3+5+7+……… +n = n2
১ পদের সমষ্টি = ১= ১^২
২ পদের সমষ্টি = ১ + ৩ = ৪ = ২^২
৩ পদের সমষ্টি = ১ + ৩ + ৫ = ৯ = ৩^২
৪ পদের সমষ্টি = ১ + ৩ + ৫ + ৭ = ১৬ = ৪^২
n পদের সমষ্টি = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + …. + n = n^২

গুণোত্তর ধারা:

১, ২, ৪, ৮, ১৬, …
৩, ৯, ২৭, ৮১, …

উপরের ধারা দুটি খেয়াল করলে দেখবেন, প্রথম ক্ষেত্রে ২ করে গুণ করে পরের সংখ্যা পাওয়া যায়।  দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ৩ করে গুণ করে পরের সংখ্যাটি পাওয়া যায়।  এধরনের ধারাকে গুনোত্তর ধারা বলে।  ১ম ধারাটি আমরা একটু পর্যবেক্ষণ করি: ১, ২, ৪, ৮, ১৬, …এখানে, প্রথম পদ a=১, সাধারণ অনুপাত r=২।

n = ১, প্রথম পদ  = ১
n =২, ২য় পদ = ১X ২
n =৩, ৩য় পদ = ১X ২^২
n = ৪, ৪র্থ পদ = ১X ২^৩

খেয়াল কর: ১ সর্বক্ষেত্রে গুণ হয়েছে, আর ২ এর পাওয়ার ঠিক n যত তার থেকে এক কম। [১ হল প্রথম পদ, মানে a আর ২ হল সাধারণ অনুপাতমানে r]

তাহলে, গুণোত্তর ধারার  তম পদ বের করার সূত্র এরকম: ar^(n-১) 

১ – ১ + ১ – ১ + ১ – ১ + ১……
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার সাধারণ অনুপাত = -১
এই ধারার যোগফল বের করতে আপনাকে সূত্র জানতে হবে না।

দেখুন:

১ পদের সমষ্টি = ১
২ পদের সমষ্টি = ১- ১ =০
৩ পদের সমষ্টি = ১-১ +১= ১
৪ পদের সমষ্টি = ১-১ +১ -১ =০

এবার একটু দেখুন,
১ ও ৩ পদের সমষ্টি ১
২ ও ৪ পদের সমষ্টি ০

অর্থাৎ জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি ০ এবং বিজোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি ১।  🙂

এই লেকচারের পরের পেইজে যেতে নিচের …. তে ক্লিক কর।